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Desafios


Resolva os seguintes problemas de matemática/interpretação de texto:


1) A idade que eu tenho é o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, nossas idades somarão 54. Quais são nossas idades atuais?  (autor desconhecido).


2) Dois matemáticos que há muito não se viam, encontraram-se em uma rua e tiveram o seguinte diálogo:

— Casastes?

— Sim casei e tenho três filhas. A soma das idades delas é o número daquela casa alí. E o produto das idades é 36. Consegues calcular a idade delas?

— Não, pois falta um dado.

— Falta sim: a mais velha toca piano

Então o amigo diz a idade de cada filha. Agora sem saber o número da casa, você consegue calcular também?










Soluções:

1) Fazendo nossas idades atuais iguais, respectivamente a x e y, temos que a diferença entre nossas idades é x-y. Pelo enunciado temos duas equações:

 x = 2 [y-(x-y)] e  

 x + [x + (x-y)] = 54

Simplificando e explicitando x e y, temos, respectivamente, para cada equação:

 x = 4y/3 e 

 y = 3x-54

Substituindo x da primeira equação na segunda, temos que:

 y = 3(4y/3) – 54 

logo y = 18 anos.  

E, pela primeira equação, temos que x = 4(18/3), logo x = 24. 

Assim, nossas idades atuais são, respectivamente, 24 e 18 anos.


2) Para que o problema tenha uma única solução, as idades devem ser em números inteiros.  Assim, só há oito possibilidades de o produto das idades vir a ser 36.  Somando as idades dessas oito possibilidades, temos:

1 + 1 + 36 = 38

1 + 2 + 18 = 21

1 + 3 + 12 = 16

1 + 4 +   9 = 14

1 + 6 +   6 = 13

2 + 2 +   9 = 13 - Única situação que justifica os detalhes da conversação

2 + 3 +   6 = 11

3 + 3 +   4 = 10


Como o amigo resolveu a questão com a resposta de que “a mais velha toca piano”, significa que o problema teria duas soluções possíveis, logo o número da casa é 13, por ser o único número que possibilita duas soluções. Ademais, como ele disse que “a mais velha toca piano” e não “uma das mais velhas”, a resposta será que as duas mais novas estão têm dois anos e a mais velha nove anos,

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